Числа с отрицательной нулевой степенью

Способ получения

Как можно получить число в такой степенью? Для начала получим число с отрицательной степенью, содержащей шестнадцатеричные цифры. Например, 1.^|−E0 ( 1. -E0): 1 0 /-/ К− ВП F10^x. Получилось число как 1.^|−140 или по правилу 160 = 1.^|+20. Теперь если убрать ещё 20 из порядка: ВП 2 0 /-/ x→П1. то мы получим 1.^|−00 ( 1. -00).

Если вы думаете, что мантисса может быть только единица, то обрадую, что можно и другие. Для исследования чисел с разными мантиссами приведём программу, которая регистры R1…Re заполняет числами с нулевой отрицательной степенью, а на месте первой цифры будет стоять номер регистра. Да, да, для последнего это будет E.^|−00.

# \|	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
00 \|	КНОП	1	3	x→П0	1	8	К∨	К{x}	/-/	ВП
10 \|	2	F10^x	В↑	ВП	/-/	5	0	x→П1	0	←→
20 \|	КНОП	ВП	П→x1	←→	КНОП	ВП	x→Пe	Кx→Пe	FL0	18
30 \|	С/П

Тут тоже используются недокументированные возможности. Большую часть, адреса с 00 по 17, это документированное получение той же 1.^|−00, что мы сделали руками, только без ЕГГ0Га. Причём не через E0, а через L0. Просто число 13 нужно для цикла по оставшимся регистрам R2…Re. Из-за особенностей поведения ВП в программном режиме X нужно копировать в X2. Первый раз нам помогает /-/ по адресу 08, второй раз уже явно делаем В↑ по адресу 12. А вот с 18 адреса начинается шаманство. Фрагмент программы 18…21 увеличивает текущую цифру в шестнадцатеричном смысле. Эта особенность была рассказана в разделе про регистр X2 и команду ВП. А фрагмент 22…25 (тот же раздел) подставляет эту цифру в число из R1. Потом с помощью регистра Re мы сохраняем это в нужном месте и повторяем.

Обозначим такое число с необычной степенью как N. В общем случае, нулевая степень, пусть с минусом, в математическом смысле ничего не меняет, т. е. число должно быть как бы без степени. И большинство операций так его и воспринимают, но есть исключения. Пройдёмся по всем операциям/функциям, использую значения регистров, внесённые программой выше.

Сложение и вычитание

Тут порядок операндов неважен. Правило такое: если целая часть второго операнда состоит только из одной цифры, сюда же попадают шестнадцатеричные цифры и дробная часть может быть любая, то этот операнд, т. е. всё число, сначала умножается на 10, то же и для шестнадцатеричных чисел, а затем выполняется операция с N. Примеры:

2.^|−00 + 5.1 = 53: П→x2 5 . 1 + = 53. .

2.1 − 3.^|−00 = 18: 2 . 1 П→x3 − = 18. .

π − 3.^|−00 = 28.415926; Fπ П→x3 − = 28.415926 .

E.1 + 2.^|−00 = 43: 1 . 1 К− ВП КНОП П→x2 + = 43. .

Для двух и более значных операндов, выполняется как обычно. Примеры:

2.^|−00 + 51 = 53: П→x2 5 1 + = 53. .

21 − 3.^|−00 = 18: 2 1 П→x3 − = 18. .

e^π − 3.^|−00 = 20.14069: Fπ Fe^x П→x3 − = 20.14069 .

E1 + 2.^|−00 = 43: 1 1 К− ВП КНОП П→x2 + = 43. .

Если дробное число у которого целая часть нулевая, то выполняется как обычно. Примеры:

0.5 + 4.^|−00 = 4.5: 0 . 5 П→x4 + = 4.5 .

E.1^|−01 + 4.^|−00 = 5.41: 0 . 9 Fx² К− ВП КНОП П→x4 + = 5.41 .

Сами с собой числа N правила умножения на 10 не придерживаются и выполняются как обычно.

5.^|−00 + 2.^|−00 = 7: П→x5 П→x2 + = 7. .

2.^|−00 − 3.^|−00 = −1: П→x2 П→x3 − = -1. .

Так же, как обычно, работает, если второй операнд нулевой. 9.^|−00 + 0 = 9: П→x9 0 + = 9. .

Для сравнения: 9.^|−00 + 1 = 19: П→x9 1 + = 19. .

Умножение и деление

При умножении, когда число N перед операцией находится в регистре Y, а число в регистре X меньше единицы в абсолютном значении, то получается число со степенью −160, т. е. само число N в операции воспринимается как число в степени −160. Кстати, с учётом цикличности ПМК на 1000 степени можно считать это числом в 840 степени. В остальных случаях ведёт как обычное умножение. Пример:

1.5 × 2.^|−00 = 3: П→x2 1 . 5 × = 3. .

0.7 × 2.^|−00 = 1.4^|−160: П→x2 0 . 7 × = 0. . Вроде бы ноль, но это потому, что при нормализации числа в степени такого порядка преобразуются в ноль. Для проверки составим программу, которая полученное число умножит на 1.^|+80:

# \|	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
00 \|	П→x2	0	.	7	×	8	0	F10^x	×	С/П

После В/0 С/П на экране будет 1.4 -80

Если число в X меньше единицы, но имеет порядок меньше −40, то умножение снова проводится как обычно:

1.^|−43 × 6.^|−00 = 6.^|−43: П→x6 4 3 /-/ F10^x × = 6. -43.

1.^|−40 × 6.^|−00 = 6.^|−200: П→x6 4 0 /-/ F10^x × = 0. .

−1.^|−99 × 6.^|−00 = −6.^|−99: П→x6 9 9 /-/ F10^x /-/ × = -6. -99.

Если число в X больше единицы, но имеет порядок не меньше 60, то число N снова воспринимается, как число в степени −160.

1.^|+62 × 7.^|−00 = 7.^|−98: П→x7 6 2 F10^x × = 7. -98.

1.^|+60 × 7.^|−00 = 7.^|−100: П→x7 6 0 F10^x × = 0. .

−1.^|+99 × 7.^|−00 = −7.^|−61: П→x7 9 9 F10^x /-/ × = -7. -61.

Напомню, если число N находится в регистре X, то происходит обычное умножение, но если в Y тоже N, может другое, то будет как выше степень −160.

3.^|−00 × 7.^|−00 = 2.1^|−159: П→x3 П→x7 × = 0. . Для проверки

# \|	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
00 \|	П→x3	П→x7	×	8	0	F10^x	×	С/П

= 2.1 -79.

Для деления ситуация похожая. Необычность возникает, только когда делят на N. N в регистре X. Если число в регистре Y по модулю в диапазоне 1 ⩽ Y < 10, сюда же попадают шестнадцатеричные цифры, то в операциях деления N выглядит как число со степенью −160.

8.^|−00 ÷ 2 = 4: П→x8 2 ÷ = 4. .

18 ÷ 2.^|−00 = 9: 1 8 П→x2 ÷ = 9. .

0.8 ÷ 2.^|−00 = 0.4: 0 . 8 П→x2 ÷ = 4. -01.

8 ÷ 2.^|−00 = 4.^|+160: 8 П→x2 ÷ = ЕГГ0Г . Для проверки составим программу:

# \|	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
00 \|	Cx	8	П→x2	÷	7	0	F10^x	÷	С/П

После В/0 С/П на экране будет 4. 90.

Единственное исключение – это когда в Y тоже число N. Тогда деление снова проходит как обычно.
8.^|−00 ÷ 2.^|−00 = 4: П→x8 П→x2 ÷ = 4. .

Жёлтые функции

F√. При взятии корня вычисляется, как обычно, но результат делится на 10.^|+48, т. е. степень числа будет −48. Пример:

√(4.^|−00) = 2.^|−48: П→x4 F√ = 2. -48.

√(E.^|−00) = 3.7416573^|−48: П→xe F√ = 3.7416573-48.

F1/x. Обратная величина считает число N числом в степени −160.

1 / (2.^|−00) = 5.^|+159: П→x2 F1/x = ЕГГ0Г .

Для проверки составим программу:

# \|	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
00 \|	П→x2	F1/x	7	0	F10^x	÷	С/П

После В/0 С/П на экране будет 5. 89.

Тригонометрические функции рассмотрим только на нескольких значениях.

Для Fsin только в радианах будут отличия:

X	Р	ГРД	Г
1.^\|−00	8.4147098^\|−01	1.5707317^\|−02	1.7452405^\|−02
1	8.4147103^\|−01	1.5707317^\|−02	1.7452405^\|−02

Для Fcos тоже:

X	Р	ГРД	Г
2.^\|−00	4.4721363^\|−01	9.9950656^\|−01	9.9939082^\|−01
2	−4.1614688^\|−01	9.9950656^\|−01	9.9939082^\|−01

Для Ftg тоже:

X	Р	ГРД	Г
3.^\|−00	3	4.7158802^\|−02	5.2407778^\|−02
3	−1.4254648^\|−01	4.7158802^\|−02	5.2407778^\|−02

Для Fsin^-1 все отличаются:

X	Р	ГРД	Г
1.^\|−00	7.853981^\|−01	50.000003	45.000002
1	1.5707963	100	90
2.^\|−00	1.1071486	70.483276	63.434949
2	ЕГГ0Г	ЕГГ0Г	ЕГГ0Г

Для Fcos^-1 все отличаются:

X	Р	ГРД	Г
1.^\|−00	7.8539812^\|−01	49.999997	44.999998
1	0	00	00
2.^\|−00	4.6364761^\|−01	29.516724	26.565051
2	ЕГГ0Г	ЕГГ0Г	ЕГГ0Г

Ftg^-1 для чисел N всегда даёт ноль:

X	Р	ГРД	Г
1.^\|−00	0	0	00
1	7.853981^\|−01	50.000003	45.000002

8.^\|−00	0	0	00
8	1.4464413	92.083315	82.874983

Fx² вычисляет, как обычно, но порядок числа при этом уменьшается на 160. При нормализации получается ноль:

(2.^|−00)² = 4.^|−160: П→x2 Fx² даёт 0. .

(8.^|−00)² = 6.4^|−159: П→x8 Fx² даёт 0. .

Но небольшая проверка показывает истинную картину:

# \|	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
00 \|	П→x8	Fx²	7	0	F10^x	×	С/П

После В/0 С/П на экране будет 6.4 -89.

Fe^x вычисляется как обычно.

Flg выдаёт так:

X	Flg
1.^\|−00	0
2.^\|−00	−43.128418
3.^\|−00	−42.952326
4.^\|−00	−42.827388
5.^\|−00	−42.730478
6.^\|−00	−42.651297
7.^\|−00	−42.58435
8.^\|−00	−42.526358
9.^\|−00	−42.475205
A.^\|−00	−42.429448
B.^\|−00	−1.6057671
C.^\|−00	−1.0267076
D.^\|−00	−6.1309386^\|−01
E.^\|−00	−3.0288357^\|−01

Fln тоже начиная с B.^|−00 выдаёт другой порядок:

X	Fln
1.^\|−00	0
2.^\|−00	−99.306853
3.^\|−00	−98.901388
4.^\|−00	−98.613706
5.^\|−00	−98.390562
6.^\|−00	−98.208241
7.^\|−00	−98.05409
8.^\|−00	−97.920559
9.^\|−00	−97.802776
A.^\|−00	−97.697415
B.^\|−00	−3.6974155
C.^\|−00	−2.3640818
D.^\|−00	−1.4117008
E.^\|−00	−6.974152^\|−01

F10^x выдаёт ошибку не из-за переполнения, а как обычно: порядок вне диапазона. Хотя отрицательные значения как результат возведения в степень конечно удивляют.

X	F10^x
1.^\|−00	ЕГГ0Г
2.^\|−00	−13.02585
3.^\|−00	−36.051703
4.^\|−00	−59.077562
5.^\|−00	−7.0398713
6.^\|−00	−6.4318666
7.^\|−00	−5.5095304
8.^\|−00	−3.9441377
9.^\|−00	−7.0326326^\|−01
A.^\|−00	ЕГГ0Г
B.^\|−00	ЕГГ0Г
C.^\|−00	ЕГГ0Г
D.^\|−00	ЕГГ0Г
E.^\|−00	1

Fx^y ведёт себя тоже нестандартно. Если число N показатель степени, т. е. в регистре Y, то нормально работает, только если число в X не меньше числа e, а иначе даёт единицу.

Fx^y	1.^\|−00	1	2.^\|−00	2	3.^\|−00	3
1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	1	4	1	7.9999993
2.7182817	1	2.7182817	1	7.3890551	1	20.085531
2.7182818	2.7182818	2.7182818	7.3890557	7.3890557	20.085535	20.085535
3	2.9999994	2.9999994	8.9999984	8.9999984	26.999992	26.999992

Если N основание, т. е. в регистре X, то ситуация печальней.
1.^|−00 работает, как обычно, т. е. даёт единицу при любом показателе.
2.^|−00 быстро скатывается в ошибку:

Fx^y	2	2.29	2.30	2.31	2.32
2.^\|−00	5.5355546^\|−87	1.7215634^\|−99	0, точнее 6.3773317^\|−100	0, точнее 2.3624032^\|−100	ЕГГ0Г – просто ошибка аргумента

Для остальных показателей и степеней выдаёт ошибку, кроме степени 1. Причём опять идёт изменение уровня начиная с B.^|−00.

Fx^y	1
2.^\|−00	7.4401479^\|−44
3.^\|−00	1.1160242^\|−43
4.^\|−00	1.4880297^\|−43
5.^\|−00	1.8600371^\|−43
6.^\|−00	2.2320432^\|−43
7.^\|−00	2.6040517^\|−43
8.^\|−00	2.9760592^\|−43
9.^\|−00	3.3480707^\|−43
A.^\|−00	3.7200738^\|−43
B.^\|−00	2.478751^\|−02
C.^\|−00	9.4035621^\|−02
D.^\|−00	2.437284^\|−01
E.^\|−00	4.9787053^\|−01

Синие функции

К[x] считает числа N дробными, и выдаёт ноль.
К{x} считает так же, и соответственно, не меняет их, даже шестнадцатеричные.
Кmax работает, как обычно, причём она, например, числа 8 и 8.^|−00 считает равными.
К|x| тоже работает, как обычно, т. е. если отрицательное, то минус уберёт, а мантиссу и порядок не трогает.
КЗН тоже работает, как обычно, т. е. даёт ±1.
Набор функций К°→′, К°→′", К°←′", К°←′, которые обычно редко используются, здесь помогают расширить диапазон мантисс для чисел N. Дело в том, что они так же считают такие числа дробными, но в отличии от остальных функций при обработке не трогают порядок. Это значит, что число по-прежнему остаётся с нулевой отрицательной степенью, если конечно в результате не понизится порядок. Пример:
П→x3 К°→′" К°←′ К°←′ выдаст 2.9999999-00, если чуть изменить: П→x3 К°→′" К°←′" К°←′", то уже 2.9945599-00
Или П→xe К°←′ К°←′ /-/ даст --.16 -00.

Понятно, что таким образом набор мантисс ограничен, но всё-таки позволяет разнообразить набор чисел N.
Логические функции, как обычно, вообще не обращают внимание на порядок и делают свою обычную работу, убирая всё лишнее.

X	Р	ГРД	Г
1.^\|−00	8.4147098^\|−01	1.5707317^\|−02	1.7452405^\|−02
1	8.4147103^\|−01	1.5707317^\|−02	1.7452405^\|−02

X	Р	ГРД	Г
2.^\|−00	4.4721363^\|−01	9.9950656^\|−01	9.9939082^\|−01
2	−4.1614688^\|−01	9.9950656^\|−01	9.9939082^\|−01

X	Р	ГРД	Г
3.^\|−00	3	4.7158802^\|−02	5.2407778^\|−02
3	−1.4254648^\|−01	4.7158802^\|−02	5.2407778^\|−02

Fx^y	1
2.^\|−00	7.4401479^\|−44
3.^\|−00	1.1160242^\|−43
4.^\|−00	1.4880297^\|−43
5.^\|−00	1.8600371^\|−43
6.^\|−00	2.2320432^\|−43
7.^\|−00	2.6040517^\|−43
8.^\|−00	2.9760592^\|−43
9.^\|−00	3.3480707^\|−43
A.^\|−00	3.7200738^\|−43
B.^\|−00	2.478751^\|−02
C.^\|−00	9.4035621^\|−02
D.^\|−00	2.437284^\|−01
E.^\|−00	4.9787053^\|−01