Шестнадцатеричная арифметика

Речь идёт об обычных арифметических операциях, но в ситуации, когда операнд представляет собой число, содержащее шестнадцатеричные цифры в мантиссе. Вариант, когда порядок содержит шестнадцатеричные цифры, расмотрен в разделе по косвенной адресации.

Для простоты рассмотрим ситуации, когда число состоит из одной шестнадцатеричной цифры. Далее будем её обозначать буквой H. Для более ясного порядка операндов будем использовать стандартные обозначения X и Y. Цифра F убрана из рассмотрения как опасная, по крайней мере в качестве первой цифры.

Вычисление идёт как шестнадцатеричное, остаток по модулю 16, а от него берётся последняя цифра. X = ((X + Y) mod 16) mod 10.
Если Y двузначное, то уже две цифры X = ((X + Y) mod 256) mod 100, а значит получается как обычное сложение, если число двузначное.
Если Y дробное, то целая часть как выше, а дробная сохраняется.

В этом случае осуществляется обычное сложение, только результат нормализуется. Например: 0 + A = 10, 9 + E = 23. В случае шестнадцатеричного X см. таблицу выше.

Выглядит похоже на X = (Y − X) mod 16, но не всегда понятно, когда берётся заём, а когда нет. Число A какое-то особенное для двузначных, для него повторяется как для однозначных, т. е. только с последней цифрой идёт операция, а потом складывается.
Для трёх- и выше значных повторяется как для двузначных, т. е. 100 − A = 90, т. е. 90 + (10 − A) + 0, 100 − B = 105, т. е. 90 + (10 − B) + 0,…, 109 − E = 111, т. е. 90 + (10 − E) + 9.

Нарушения обычного вычитания только для нескольких чисел, выше и правее, начиная с B − 1, для двузначных ниже и левее A − 1B.
Кстати, особенность: когда из шестнадцатеричного числа вычитается его десятичный аналог, то ноль, на самом деле, ненормализованный. Т. е. из 4-х значного будет 0000. И это можно использовать для получения нуля в любой степени. Пример в ручном режиме:

1. Получим цифру E документированным образом: 1  1  КИНВ  К{x}  ВП  1  К[x], или можно нестандартным: 1  К×  ВП
2. Добавим порядок, который хотим получить: ВП  9  9
3. Затем скопируем в стек: В↑  В↑  СX
4. Выполним сложение + с нулём, что по правилу X + H будет обычным сложением, т. е. получится десятичный аналог, и вычитание: −

И вот мы получили 0. 99.

Поразительное однообразие, почти все ведут себя как 10. Не ясно, чем так отличается E, но ноль получается и для многозначных чисел.
Для двузначных соответственно, т. е. C × 20 = 200, но E × 20 = 0.

Тут уже трудно поддаётся логике. На практике автор как-то использовал D. С одной стороны, это изображение, с другой – коэффициент 10: см. таблицу H × Y. А самое основное – это проверка битового сдвига. При умножении дробной части, содержащей 1, 2, 4, 8, как бы биты, возможен выход за диапазон, т. е. 0.5 или 1.6. Так вот, при умножении на D по указанной таблице, результат из одной цифры получался, если всё нормально, или из двух, при выходе за диапазон.

Для двухзначных результат бывает ненормализованным: обратите внимание на ведущие нули в некоторых случаях. На этом фоне 14 × E выглядит как белая ворона.

Здесь кроме случая X = 1, и некоторых двузначных это обычное деление нормализованного шестнадцатеричного числа. Пример: E ÷ 7 = 14 ÷ 7 = 2.
Правда и здесь встречаются ненормализованные числа, пример D ÷ 12, или C ÷ 11, которое на порядок меньше, чем A ÷ 11.
Встречаются и ненормализованные нули, пример: С ÷ 12, и выглядит, как указано: 0. -01. Впрочем, в косвенной адресации мы уже встречались с подобными нулями.

Тут логики не наблюдается. Очень похожие, но разные числа: 9.099099^|−01 и 9.9099099^|−01, или 9.099099 и 9.9099099.
Также интересно, что при делении нуля на шестнадцатеричную цифру получается вовсе не ноль.
А самое главное, тут не просто ЕГГ0Г, а плохой ЕГГ0Г, который ранее не встречался. После его появления ПМК и в дальнейшем до выключения ПМК при выполнении многих операций всегда выдаёт ЕГГ0Г. Вот список таких операций:

+, −, ×, ÷, ←→, Fsin, Fcos, Ftg, F√, F1/x, Fsin^-1, Fcos^-1, Ftg^-1, Fπ, Fx², Fe^x, Flg, Fln, Fx^y, F10^x, F↻.

Ошибка возникает как в режиме вычислений, так и в программном режиме. Интересно, что F↻ выдаёт ошибку, а FВx – нет.

Синие функции работают нормально. Видимо такой ЕГГ0Г сводит с ума только один микроконтроллер.

• Результат возведения в квадрат согласуется с таблицей умножения, приведённой выше.
• Излечение корня вообще по правилам – как корень из нормализованного числа.
• Обратная величина так же согласуется с таблицей деления, причём здесь опять плохой ЕГГ0Г.
• Fe^x тоже как корень – всё по правилам.
• F10^x отображает шестнадцатеричную степень, только цифра A не любит светиться.
• Результаты логарифмов уже не понятны.
• Fx¹ это Fx^y, для случая Y = 1. Впрочем, результат от этого не становится более ясным. Кроме числа A, остальные возводятся в первую степень как какие-то суперчисла.
• К[x] похож на сложение с нулём. Причём если бы число было ещё с дробной частью, то целая часть осталась бы без изменений, даже если она шестнадцатеричная.

Про более редкие операции переводов градусов/часов сказано в приложении по командам. Числа, где порядок содержит шестнадцатеричные значения, рассмотрены в разделе косвенной адресации порядок содержит шестнадцатеричные цифры.

Практическое применение – это получение нестандартного результата, как отличие от обычной цифры. Или получение нестандартной последовательности. Или как был приведен выше по умножению.

Случаи с двойными и более шестнадцатеричными числами, в том числе в дробной части, не рассмотрены, как очень редко встречающиеся. Там тоже можно построить подобные таблицы, но проще посмотреть результат под конкретное число.